La Dilatación Temporal de Lorentz

Intentar explicar el comportamiento del tiempo utilizando la geometría de Minkowski es bastante complicado. Es mejor utilizar directamente las ecuaciones.

El intervalo temporal entre dos sucesos es la medida del tiempo. Consideremos dos sucesos que transcurren en tiempos diferentes pero en el mismo espacio respecto un observador situado en el sistema móvil S’. Por ejemplo, la desintegración de una partícula.

Siguiendo con el ejemplo, supongamos que una partícula que se mueve a una velocidad v respecto un sistema S, se desintegra. Como observaremos el tiempo de desintegración en el sistema propio de la partícula (S’) y en el sistema en reposo (S).

En el sistema S’ el intervalo temporal será

Se acostumbra a denominar tiempo propio este intervalo. Es el resultado de la medida de un intervalo temporal en el sistema en que el reloj se encuentra en reposo. Fíjense que el observador de la desintegración se encuentra en reposo en el sistema S’, la partícula no se mueve respecto ella misma. Entonces la desintegración sucede en el mismo espacio para S’, es decir, en la misma coordenada x’, pero en tiempos diferentes,

En este pequeño detalle esta la dilatación temporal en la relatividad especial. Hay que comprender que nuestra desintegración sucede en el mismo espacio y tiempos distintos en el sistema S’ y sucede en espacios distintos y tiempos distintos en el sistema S. A esto se le denomina la relatividad de la simultaneidad.

Resumiendo, en el sistema S’ la desintegración sucede en la misma coordenada x’ pero en tiempos t’ diferentes. En el sistema S la desintegración sucede en diferentes x y en diferentes t. Podemos decir que el espacio-tiempo se deforma según el estado de movimiento del sistema de referencia. Pero no se alteren por las palabras, no es nada mágico ni raro, pensándolo un poco lo raro sería todo lo contrario, que distintos observadores moviéndose a velocidades distintas midiesen lo mismo. Lo único raro que hay que aceptar es que la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas de referencia.

Aplicamos la transformación de Lorentz para relacionar el espacio y el tiempo entre los sistemas S’ y S tal como se vio en el post sobre "La transformación de Lorentz"

Restando la ecuación de arriba con la de abajo obtenemos la relación entre los intervalos temporales

Puesto que el término de la raiz es menor que 1, ya que nada puede superar la velocidad de la luz, el cociente serà mayor que 1, obtenemos pues:

El intervalo de tiempo medido en el sistema que observamos el movimiento (S) es más largo que en el sistema de referencia donde medimos el tiempo propio (S’). Podemos decir que los relojes que miden la desintegración de la partícula en el sistema móvil S’ parecen avanzar más lentamente que los que se encuentran en reposo.

Interpretación de la dilatación del tiempo

Podemos comprender que la dilatación del tiempo surge de la simultaneidad de la relatividad con un experimento mental (gedanken experiment) que tanto le gustaban a Einstein y Galileo. Para ello supongamos que disponemos de dos relojes idénticos y peculiares, están formados por fotones y espejos, es un reloj de luz. En el siguiente video he hecho una animación de cómo sería el reloj visto dentro del sistema S’. El reloj se encuentra en el sistema S’, de manera que desde el sistema S’ el reloj permanece inmóvil. Un fotón surge del espejo inferior y se dirige a la velocidad de la luz hacia el espejo superior (por supuesto, en la animación va mucho más despacio), se refleja y vuelve hacia el espejo inferior donde se reflejara y volverá al superior. De esta manera el lapso de tiempo que transcurre entre el viaje del fotón entre los espejos nos marca el tiempo.

animación del reloj visto dentro de la nave (Sistema S')

¿Cómo se verá el reloj de luz en el sistema S?, pues es fácil de realizar, simplemente hay desplazar el reloj (o la cámara) y el resultado es el siguiente.

Animación del reloj visto desde fuera de la nave (Sistema S)

Como pueden observar, el movimiento del fotón es distinto en S’ y en S. En S’ el fotón sube y baja verticalmente entre los espejos, pero en S el movimiento sigue una trayectoria inclinada. Hay que recordar que tanto en S’ como en S el fotón se mueve a la misma velocidad c de 300.000 km/s aproximadamente.

Vamos a demostrar la dilatación temporal tan solo con un procedimiento geométrico y cumpliendo el postulado de la relatividad especial de que la velocidad de luz es la misma en todos los sistemas de referencia.

Supongamos que tenemos un Astronauta A’ situado en una nave espacial, que será nuestro sistema de referencia S’. Este astronauta dispone del reloj luz, con los espejos separados una distancia D.

Imagen obtenida del libro de Física de Paul A. Tipler

El intervalo de tiempo transcurrido en recorrer el viaje entre los dos espejos será la distancia recorrida (2D) divido por la velocidad (c).

Podemos decir que este es el tic-tac del reloj de luz. Cuanto tiempo durara un tic-tac en el sistema S donde se ve a la nave moverse a la velocidad v.

Observamos que en S el suceso inicial y final ocurren en dos puntos espaciales diferentes, en x1 y x2. En cambio en S’ ocurren en el mismo punto espacial x’1. En consecuencia el trayecto recorrido por la luz en S es más largo que en S’. Pero el postulado de Einstein exige que la velocidad de la luz sea la misma en S y en S’. La consecuencia es que la luz tarda más tiempo en recorrer el espacio entre los espejos en S que en S’.

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triangulo formado en S

Donde he sustituido 2D/c por su valor en incremento de tiempo prima.

Hemos obtenido la relación entre los intervalos temporales de S y S’. En el sistema S que observa el reloj en movimiento (y toda la nave) el tiempo aparente entre el tic-tac del reloj es mayor. Para este observador no solamente el reloj luz sino todos los sucesos en la nave transcurren más lentamente. El tiempo mismo parece más lento en la nave espacial. Todo transcurre más lentamente, el ritmo del pulso, los pensamientos, el envejecimiento, etc..

En el próximo post les comentare la paradoja de los gemelos y daremos un poco de luz a este comportamiento extraño del espacio-tiempo.