La Transformación de Lorentz

Voy a dedicar los siguientes post a la teoría de la relatividad, es una continuación del post “Relatividad de Galileo” donde comentaba como se verían los sucesos físicos en dos sistemas de referencia, uno fijo (que llamaremos S) y el otro móvil (que llamaremos S’) y al del “Experimento de Michelson-Morley”.

El fracaso del experimento de Michelson-Morley demostró que la velocidad de la luz no se comportaba como era de esperar según las leyes de la mecánica de Newton. La teoría que englobaba todos los experimentos sobre la luz era la teoría electromagnética de Maxwell. Sin embargo las ecuaciones de Maxwell no obedecían al principio de relatividad de Galileo. Era de esperar pues que los fenómenos electromagnéticos y por tanto sobre la luz tuviesen comportamientos diferentes en distintos sistemas de referencia. Si por ejemplo efectuamos experimentos ópticos en una nave espacial en movimiento, los resultados tendrían que ser diferentes a la misma nave en reposo. Entonces se podrían utilizar estos resultados para determinar la velocidad de la nave. Puesto que la Tierra no es más que una gran nave espacial, el experimento de Michelson-Morley se proponía determinar la velocidad de la Tierra respecto el éter.
Había que buscar un culpable a este fracaso, y el primero fue Maxwell. Es decir, las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético, en ese tiempo estas ecuaciones solo tenían 20 años de existencia. Parecía evidente que estaban equivocadas y tenían que transformarse para que cumplieran el principio de relatividad de Galileo. Pero al modificar las ecuaciones del campo electromagnético para que cumplieran el principio de relatividad de Galileo, salían términos que no se ajustaban a los experimentos. ¿Qué fallaba entonces?
H.A. Lorentz introdujo una nueva idea, los objetos materiales se contraen en la dirección del movimiento según una transformación que obtuvo y que justamente mantenían la forma de las ecuaciones de Maxwell. Esta contracción solo se nota a velocidades muy elevadas y es conocida como la transformación de Lorentz. Curiosamente la transformación de Lorentz se convierte en la transformación de Galileo para velocidades bajas comparadas con la velocidad de la luz.
Resulta que el culpable del fracaso del experimento de Michelson-Morley es la transformación de Galileo y detrás vienen las leyes de Newton. ¿Como modificar estas leyes para ajustarlas a la nueva transformación?, muy sencillo, solamente hay que tener en cuenta que la masa en las ecuaciones de Newton depende de la velocidad y esta se hace infinita a la velocidad de la luz. Es uno de los temas a tratar en los sucesivos posts sobre relatividad, un poco de paciencia.
Con estos cambios, las leyes de Newton y del electromagnetismo permanecen invariables bajo la transformación de Lorentz, que es la que ahora prevalece, y toda la física vuelve a la normalidad. Solo que lo que entendemos por normalidad no sigue al sentido común. Para entender la transformación de Lorentz tenemos que modificar el concepto de espacio y tiempo. Y no es posible de ninguna manera determinar una velocidad absoluta, aunque la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia.
No tengo más remedio que acudir a las matemáticas para explicar en qué consiste la transformación de Lorentz y de por si la teoría de la relatividad de Einstein. Solamente utilizo algunos conceptos algebraicos y algo de geometría elemental. Se acostumbra a denominar con la letra c a la velocidad de la luz, unos 300.000 km/s.
Einstein desde los 16 años se preguntaba cómo se vería un rayo de luz si pudiésemos correr a su lado. Lo veríamos parado, puesto que la velocidad relativa entre el rayo y nosotros seria cero. Esta situación le indujo a pensar como se veria un rayo de luz en dos sistemas de referencia, uno fijo (S) de color azul y otro móvil (S’) de color rojo. Supongamos que un niño, al que llamaremos Jan, esta situado en el sistema S y dispone de una fuente de luz que emite en todas direcciones por igual. Una niña, a la que llamaremos Ivette se encuentra situada en el sistema S’ y dispone de una fuente de luz igual. Al encender la luz, tanto Jan como Ivette tiene que observar que la luz se aleja a la velocidad c de ellos y en todas direcciones por igual. Es decir, observan como una esfera de luz avanza hacia el espacio exterior a la misma velocidad c para los dos.

A partir de aquí empieza el baile matemático, empiezo con unas pequeñas directrices. La ecuación de un círculo de radio r es de la forma

Y la ecuación de una esfera de radio r es de la forma



En nuestro caso, las esferas van aumentando el radio a medida que avanza el tiempo, para Jan el radio de la esfera aumenta según ct y para Ivette según ct’.

Pues bien, impongamos la condición de que estas dos esferas tienen que ser esferas tanto para Jan como para Ivette. Matemáticamente significa lo siguiente

Aplicamos la transformación de Galileo para comprobar si se cumple este principio de que las esferas tienen que ser iguales

Pues no, según Galileo Jan observa una esfera, pero Ivette no.
La transformación de Galileo no conserva la simetría de la esfera. Un rayo de luz lanzado desde el Sistema S se verá distinto en el Sistema S’.Para solventar este inconveniente Einstein considera que el tiempo es una variable que también depende del espacio. Para simplificarlo considero solamente movimiento en la dirección del eje x. Entonces la condición matemática para la transformación es la siguiente, con gamma, A i B parámetros a determinar

Aplicamos otra vez la condición anterior de que las esferas de luz tienen que ser esferas tanto para Jan como para Ivette, obtenemos

Igualamos los coeficientes


El sistema se soluciona con algunos pasos algebraicos, se aísla gamma de la última y se sustituye en la primera, con este paso se obtiene B en función de A y se sustituye en la segunda. Obtenemos A , B i gamma.

De manera que la transformación de Einstein, que es la transformación de Lorentz queda como

Podría dejarlo aquí, pero vamos a complicarlo un poco. Introducimos una nueva coordenada espacial a partir de ct, el producto de una velocidad por el tiempo es el espacio y utilizamos la siguiente notación:

Con lo que la transformación de Lorentz queda de la forma más simétrica.

Con esto es suficiente para entender las explicaciones que intentare dar sobre la relatividad en los sucesivos posts. Para continuar necesita de unos conocimientos un poco superiores sobre matemáticas para entender el concepto matemático del espacio-tiempo. Lo que se llama el espacio de Minkowski. Aunque repito, no es necesario para entender la continuación, eso sí, es necesario para entender esta jerga matemática que envuelve a la relatividad.
Pues bien a continuación el nivel matemático vuelve a dar una vuelta de tuerca y tenemos que pasar a la notación matricial. El sistema anterior lo podemos colocar de la siguiente manera, gracias al producto matricial.

Simplifiquemos un poco para no perdernos, nos fijamos solamente en las coordenadas ct, x, ct’, x’. De esta manera reducimos el sistema a

Tiene el aspecto de una matriz de rotación. El siguiente link comenta la matriz de rotación.

Pero no con los senos y cosenos normales sino con el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico. La diferencia que nos interesa ahora es la siguiente:

Es una pequeña diferencia pero muy útil en relatividad. Veamos porque. Recordemos que la esencia es que la esfera de un pulso de luz tiene que ser una esfera en todos los sistemas de referencia inerciales, para Jan y para Ivette. Pues bien, la trigonometría de los senos y cosenos hiperbólicos nos permite esta identidad.

Si colocamos la transformación de un sistema S a otro S’ de la siguiente manera

Donde

Si elevamos al cuadrado cada ecuación y restamos, los términos cruzados desaparecen al restarse y obtendremos

Volvemos a encontrar que la esfera (imaginen las componentes y,z que faltan) vista en S’ (Ivette) es la misma que en S (Jan) pero ahora hemos substituido el lenguaje matemático del cálculo por el lenguaje matemático de la geometría.
Este paso lo efectuó Minkowski, que fue profesor de Einstein en el Politécnico de Zuich y el cual se extraño mucho ya que Einstein siempre se saltaba sus clases. Einstein considero esta idea como otra manera de interpretar la relatividad, pero sin interés. Años más tarde, en 1912, Einstein desarrollo la Teoría de la Relatividad General partiendo de la geometría del espacio-tiempo. Desgraciadamente Minkowski había muerto de apendicitis en 1909.
Veamos el significado de la geometría del espacio-tiempo de Minkowski. Si comparamos la trigonometría de los senos y cosenos con la trigonometría de los senos y cosenos hiperbólicos obtenemos la siguiente diferencia. Recordemos que la ecuación para un círculo de radio r es:

Es el caso de la trigonometría euclidea donde aparece un círculo de radio 1 a partir de la condición

Pero la geometría del espacio-tiempo de Minkowski se basa en la siguiente condición

y su forma gráfica es una hiperbola

En general tenemos que el espacio de Minkowski no es un espacio euclideo sino un espacio hiperbólico. Si juntamos todas las líneas hiperbólicas obtendremos una superficie hiperbólica

Parecido a si juntamos todas las líneas de circunferencia para formar una esfera.
En el caso de la relatividad la ecuación que teníamos sobre la esfera de luz es

Y su representación gráfica es un cono

Entender esta representación del doble cono es imprescindible para comprender la geometría del espacio-tiempo. Lo explico en el siguiente post, con más calma.

Como pueden observar no me aclaro con el tamaño de las fórmulas, algunas quedan pequeñas, otras muy grandes. Supongo que tendria que ajustar la resolución de cada una al pasarla a imagen. Utilizo el MathType y convierto la formula en una imagen gif y todas tienen el mismo tamaño, es al pasarla al blog que se modifica. Si alguien conoce el truco se lo agradeceria.