Aldrin y la bandera

Hoy en clase hemos vuelto al tema de la ida a la Luna y me decían que en la Luna no hay aire y por tanto la bandera no puede ondear al viento. Hemos quedado que les contestaba desde el blog enseñando las imágenes de la bandera rota.

Recuerdo haber leído en alguna parte, no recuerdo donde y lo he buscado por internet pero no lo he encontrado. Bien se contaba la verdadera historia de Aldrin y la bandera, quizá lo hayan quitado porque no queda bien que un autentico americano destroce su bandera.

Bien, a lo que iba, la bandera americana se encontraba sujeta debajo de la escalera del modulo lunar. Cuando Aldrin se disponía a quitar los tornillos que la sujetaban se dio cuenta que no veía nada. En la Luna no hay penumbra, la sombra es totalmente negra y oscura. Esto es lo que le sucedía, con el Sol detrás de Aldrin, el mismo hacia sombra sobre el soporte de la bandera y no podía ver. Piensen en las condiciones, el traje, los guantes,…

Al final pudo sacar la bandera tirando de ella, pero no sin antes doblar los alambres que tenían como misión mantener la bandera estirada una vez colocada en su sitio.

Cuando coloco la bandera sobre el suelo Lunar intento conseguir la posición para la cual estaba diseñada, pero solo consiguió doblar mas los alambres. El resultado final forma parte de la historia.

Les recuadro en verde los alambres doblados

Eppur si muove!

Después de los dos últimos post demasiado matemáticos nos merecemos un pequeño descanso (pero la relatividad hay que entenderla desde el principio de forma matemática), les aseguro que el esfuerzo merece la pena, más adelante podremos exprimir y condensar este conocimiento solamente en palabras (mas o menos).

Ya he comentado la relación entre Galileo y Einstein en “Galileo, Newton, Maxwell y Einstein” y han podido observar como la transformación de Lorentz se convierte en la de Galileo a velocidades bajas. Por tanto hay una relación matemática entre la relatividad de Einstein y la relatividad de Galileo. Pero las relaciones van más allá, entran en el terreno personal. Einstein sufrió una persecución parecida a la de Galileo, y sus vidas de dedicación a la ciencia tienen algunos paralelismos.

Cuando el físico alemán Wilhelm Lenz sugirió a Max Von Laue en la Academia Prusiana de Ciencias que atribuyeran la teoría de la relatividad al francés Henri Poincaré, para “purificarla” de cualquier conexión judía, Von Laue defendió a Einstein en el Encuentro de Físicos anual considerando esta idea como vergonzosa y estúpida, comparando los ataques del gobierno nazi contra Einstein con el trato que recibió Galileo por parte de la Inquisición, y acabo su intervención con la expresión de Galileo “Eppur si muove”. Esto le valió el aplauso del público y la reprimenda del ministro prusiano de educación. En estos tiempos de 1936 la corriente científica del partido nazi consideraba la física teórica como “ciencia judía” sin ningún valor añadido.

Por suerte Einstein ya se encontraba en Estados Unidos y cuando un amigo que regresaba a Alemania le preguntó si quería comunicar algo a alguien, Einstein dijo:” Salude a Laue de mi parte”. ¿A alguien más? Insistió el otro. “Salude a Laue de mi parte”, repitió Einstein.

Cuando Max Brod en 1948 le envió su última novela “Galileo en prisión” Einstein quedo maravillado de la visión que daba Brod. Pero Einstein no podía entender que Galileo desperdiciara sus últimos años tratando de convencer a curas y políticos de su verdad científica.

Por eso, antes de continuar con otros artículos sobre la relatividad de Einstein me parece obligado volver a recordar la vida y obra de Galileo Galilei. No solamente por sus logros científicos sino también o precisamente por esto, su defensa de la libertad de la opinión científicamente razonada frente a la opinión de la credulidad.

Galileo Galilei nació el 15 de febrero de 1564 en la ciudad italiana de Pisa, en el seno de una familia noble, pero sin riquezas ni patrimonios. Esto conllevo serios problemas económicos a Galileo a la muerte de su padre, pues era el mayor de seis hermanos.Vincenzo Galilei, padre de Galileo se dedicaba al comercio de la lana y a la música. Músico innovador que participo activamente en el paso de la polofinia coral medieval a las nuevas formas armónicas, siguiendo las palabras de Zarlino de Venecia en sus Principios Armónicos “No sería apropiado emplear una armonía triste y un ritmo lento con un texto alegre, o una armonía alegre y un ritmo ligero con un asunto trágico y lacrimoso. El compositor debe poner música a cada palabra de tal manera que donde denote aspereza, crueldad, etc,. La música guarde semejanza con ello, sin ofender nunca”. Así, Vincenzo Galilei puso música al monólogo de Ugolino extraído del Infierno de Dante. Innovaciones que al finalizar el siglo XVI dieron lugar al nacimiento de la opera.

La práctica experimental de Vincenzo Galilei le llevo a descubrir el que puede ser considerado el descubrimiento más antiguo de una relación no lineal en física, la relación entre la tensión de una cuerda con su tono. La experimentación musical de Vincenzo junto a la escuela pitagórica que defendía las relaciones matemáticas en la búsqueda de la armonía fueron el germen que Galileo desarrollo en su método científico, que es el nuestro.

Se inicio en el estudio de las matemáticas al lado de Ricci, alumno de Tartaglia, amigo de la familia Galilei y profesor en la Universidad de Pisa. Galileo se interesa por la obra de Euclides. Es curioso que Einstein se inició en las matemáticas gracias a un amigo de la familia, Max Talmud y a la edad de 12 años ya conocía la geometría euclidea. A los 17 años (1581) entró en la Universidad de Pisa para estudiar medicina, aunque termino estudiando filosofía, física y matemáticas. Abandona la Universidad en 1585, sin haber obtenido ningún título académico pero con grandes conocimientos y una gran curiosidad científica. En 1591 muere su padre y la necesidad de mantener a sus hermanos y a su madre. Después de algunas penurias logra mediante recomendaciones de sus amigos bien relacionados que el Senado de la República de Venecia le nombre profesor de matemáticas en la Universidad de Padua. Esto le proporciono un trabajo estable y cierto tiempo libre para experimentar y observar. Su fama se extendió rápidamente y acepto dar clases privadas que le suministraron ingresos para sus investigaciones de laboratorio, dedicado a los cálculos matemáticos, estudio del movimiento, la mecánica y la resistencia de los materiales.

Su carácter rebelde le produjo problemas al negarse a vestir el pesado ropaje que tenían que llevar los profesores universitarios como símbolo externo de su rango. Compuso un poema de unos 300 versos en torno burlesco contra esta costumbre. Al mismo tiempo el estudio de las mareas le condujo a aceptar el movimiento de la Tierra. Para Galileo las mareas eran la prueba experimental del sistema de Copérnico, la Tierra se movía en torno al Sol, contrariamente al sistema geocéntrico de Ptolomeo defendido por Aristóteles. A partir de estos experimentos se convierte en defensor del sistema copernicano y la casualidad hace que en 1609 dirija su mirada hacia el cielo con un nuevo instrumento, gracias a una carta enviada por un exalumno suyo (Jaques Badovere) donde le cuenta la invención de un anteojo en los Países Bajos que permite ver objetos lejanos.

Galileo ya estaba al tanto de los descubrimientos de su época, mantenía correspondencia con Kepler en Alemania y Huygens en los Paises Bajos. A partir de esta carta el mismo construye su propio telescopio a partir de un juego de lentes que hizo traer de los Países Bajos y lo apunta a la Luna, al Sol, los planetas y a las estrellas. Organizó una presentación del invento el 21 de agosto de 1609 ante los ilustres representantes de la República de Venecia, el éxito fue total y el Senado le recompenso por el gesto con la renovación de por vida de su contrato y un aumento de sueldo.

No se crean que los ilustres se volvieron científicos de golpe, simplemente vieron su aplicación práctica militar al poder observar el ejército enemigo antes y también su utilidad en la navegación.

Esta circunstancia provoca un cambio en Galileo, profundamente interesado en experimentos terrestres, como mecánica y materiales, la observación de los objetos celestes cambia su visión del mundo y ya no hay vuelta atrás. Es empujado hacia la inmortalidad reservada a los grandes genios de nuestra especie.

La leyenda cuenta que refuto la teoría aristotélica de la caída de los objetos lanzando distintas bolas de distintos pesos desde la torre de Pisa. Otra leyenda cuenta que durante un oficio celebrado en la catedral de Pisa, Galileo estuvo observando el movimiento pendular de una de las pesadas lámparas de aceite que colgaba del techo de la catedral. Cronometró con sus propias pulsaciones el ritmo del movimiento de la lámpara y pudo demostrar que el periodo de oscilación de la lámpara dependía de la longitud de la cuerda que la sostenía.

El 7 de enero de 1610 descubre los satélites de Jupiter y observa que giran a su alrededor. Para Galileo es otra demostración de la teoría copernicana. Este descubrimiento se puede considerar como el nacimiento de la cosmología, si existe un centro alrededor del cual unos satélites orbitan, pueden existir otros. Esto contradecía el sistema aristotélico que suponía un solo centro alrededor del cual se ordenaba todo el movimiento celestial, la Tierra. Galileo consciente de su descubrimiento y de sus implicaciones políticas lo dedico a su protector, Cosme II de Médici. Galileo bautizo a los satélites como “estrellas cósmicas”, en honor a Cosme o bien “estrellas mediceas” por el apellido de la familia Médici.

Galileo considero demostrado que la Tierra gira en torno del Sol y la Luna es un satélite de la Tierra. Para entender todo el movimiento de los cuerpos celestes era necesario entender el idioma en que nos habla la naturaleza y para Galileo el universo nos habla en el lenguaje matemático y su alfabeto son las figuras geométricas. Galileo estaba convencido de que la nueva ciencia matemática era el método para entender a la naturaleza y que esta se comportaba de la misma manera en todo el universo. Es un principio que Einstein utiliza en el desarrollo de la relatividad.

No solamente era Galileo quien estudiaba a los astros con telescopios, Simon Marius, otro astrónomo alemán reclamaba el descubrimiento y bautizó a las lunas de Júpiter con los nombres de la mitología griega relacionadas con el dios Júpiter por sugerencia de Kepler: Io, Ganimedes, Europa y Calixto. Las tres primeras son doncellas cortejadas por el dios y Ganimedes como hijo del Rey Tros a quien Júpiter transporta hasta los cielos.

El cardenal Belarmino, que hizo quemar a Giordano Bruno, ordena que la Inquisición realice una investigación discreta sobre Galileo a partir de junio de 1611. No ayuda el que Galileo se enfrenta a los profesores de Pisa al sugerir que el hielo flota sobre el agua porque es más ligero, en contra de la idea aristotélica que supone que el carácter del hielo es el de flotar. Encontramos otra vez una discusión razonada y experimentada de Galileo contra una opinión generalizada basada en al credulidad.

Inicia un estudio de las manchas solares, con ello demuestra que la superficie solar esta en continuo cambio. Los cuerpos celestes ya no son perfectos ni inmutables. Dios no es perfecto en su creación. En 1614 publica un tratado sobre manchas solares y insiste en la idea demostrada de que la Tierra se mueve en torno al Sol. Los motivos para herejía estaban servidos, la hipótesis de Copernico se convierte en demostrable. Los guardianes de la tradición estaban al acecho e incluso declaran que las manchas solares eran un problema del diseño del telescopio de Galileo. No ayudaba mucho la calidad de los telescopios construidos por Galileo, la mayoría eran de mala calidad y esto junto con ninguna medida de seguridad le llevo a la ceguera al final de sus años. Por suerte Kepler y Ticho Brahe salieron en su defensa.

En febrero de 1616 recibe una primera condena en la que se le ordena que se abstuviera de enseñar, defender y discutir el sistema copernicano. Galileo reacciona y manifiesta su deseo de abandonar la opinión de que el Sol está quieto y la Tierra en movimiento. En 1623 sube al Pontificado el cardenal Barberini como Urbano VII, que había sido uno de sus defensores. Galileo cree que ha llegado el momento oportuno y escribe “Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo, ptolemaico y copernicano”. Pero Galileo se equivoco y al año siguiente de su publicación fue sometido al célebre juicio por la Inquisición romana. Al final y a la edad de setenta años firmo unas declaraciones en Roma, en el Convento de Santa Maria Sopra Minerva, el 22 de junio de 1633 y obligado a leer de rodillas ante la Congregación el documento de abjuración:

“Yo Galileo Galilei, hijo del fallecido Vincenzo Galilei de Florencia, de setenta años de edad, juzgado personalmente por este tribunal, y arrodillado ante Vosotros, Eminentísimos y Reverendísimos Señores Cardenales, Inquisidores Generales de la República Cristiana contra las depravaciones heréticas, teniendo ante mis hojos los Santísimos Evangelios y poniendo sobre ellos mi propia mano, juro que siempre he creído, creo ahora y que, con la ayuda de Dios, creeré en el futuro todo lo que la Santa Iglesia Católica y Apostólica mantiene, predica y enseña.
Pero como yo, tras haber sido amonestado por este Santo Oficio a abandonar completamente la falsa opinión de que el Sol es el centro inmóvil del universo, y que la Tierra no es el centro del universo y se mueve, y a no sostener, defender o enseñar de ninguna manera, ni oralmente ni por escrito, la mencionada fals doctrina; y tras haberme sido notificado que dicha doctrina es opuesta a las Sagradas Escrituras, escribí y di a imprenta un libro en que trato de dicha doctrina ya condenada, y presento argumentos de mucha eficacia en su favor, sin llegar a ninguna conclusión: he sido hallado vehemente culpable de herejía, es decir, de haber mantenido y creído que el Sol es el centro inmóvil del universo, y que la Tierra no está en el centro del universo y se mueve.
Sin embargo, deseando eliminar de las mentes de vuestras Eminencias y de todos los fieles cristianos esta vehemente sospecha razonablemente concebida contra mí, abjuro con corazón sincero y piedad no fingida, condeno y detesto los dichos errores y herejías, y generalmente todos y cada uno de los errores y sectas contrarios a la Santa Iglesia Católica. Y juro que en el futuro nunca más defenderé con palabras o por escrito cosa alguna que pueda acarrearme sospechas semejantes; y si conozco algún hereje, o sospechoso de herejía, lo denunciaré a este Santo Oficio, o al inquisidor y ordinario del lugar donde me encuentre”.

La leyenda cuenta que tras de su retractación, Galileo dijo “Eppur si muove” (“Y sin embargo se mueve”). Algunos dicen que fue entre dientes y a la salida de la sala del Tribunal de la Inquisición. Otros dicen que pegó una patada en el suelo y que la pronunció en voz alta.
Galileo se encontraba viejo y enfermo y empezaba a quedarse ciego, pero encontró fuerzas para reunir todos sus pensamientos y descubrimientos en un último libro, titulado “Discurso sobre dos nuevas ciencias”, publicado en Leiden en 1638. Galileo perseguía una unificación matemática de la ciencia, al igual que Einstein dedico los últimos 30 años de su vida en la unificación de la gravedad y el electromagnetismo de forma aislada y olvidado de la comunidad científica.

Los pensamientos de Galileo se apagaron en Arcetri el 8 de enero de 1642 a la edad de 78 años. El mismo año, el día de navidad, nacía Isaac Newton. Retomo los pensamientos de Galileo escritos en su “Discurso" y construyo el modelo matemático que tanto anhelaba Galileo. En una discusión por carta entre Newton y Robert Hooke sobre la ley de la gravitación universal hacia 1675, Newton escribió:

"Si he logrado ver más lejos ha sido porque he subido a hombros de gigantes”

Estos gigantes eran Galileo, Copernico y Kepler. Aunque conociendo los modales de Newton a lo mejor tan solo se refería a la baja estatura de Hooke.

P.D: La gran mayoria de la documentación le he sacado de la colección Grandes Pensadores, tomo 27 dedicado a Galileo.

La Geometría del espacio-tiempo

Intentar describir las propiedades del espacio mediante la geometría, no es nada nuevo. La geometría de Euclides supone un espacio plano, o dicho de otra manera, si consideramos que nuestro espacio es plano, podemos aplicar los principios de la geometría de Euclides. Pero ¿es plano nuestro espacio?, la respuesta es depende. Si consideramos nuestro espacio una porción muy pequeña de la superficie de la Tierra, podremos decir que nuestro espacio es casi plano y la geometría de Euclides funciona perfectamente. Para medir las distancias en un campo de futbol es suficiente la geometría de Euclides. Pero si queremos medir la distancia de Barcelona a Arequipa notaremos que la Tierra es redonda y ya no funciona la geometría euclidea. Pues bien, hasta finales del siglo XIX se creía que nuestro universo era euclideo, o al menos la geometría euclidea funcionaba correctamente.
Lo mismo pasa con el tiempo, no se notaba nada raro en el comportamiento del tiempo. Cuando se empezaron a conocer los fenómenos electromagnéticos y los aparatos científicos se hicieron más precisos se produjeron las condiciones idóneas para experimentar con la luz. Anteriormente estos experimentos o juegos con la luz eran mecánicos y los mecanismos tienen velocidades muy pero que muy bajas comparadas con la de la luz. Y hay una curiosidad sobre la transformación de Lorentz y es que se convierte en la de Galileo cuando las velocidades son mucho menores que la de la luz.

Estos experimentos mecánicos no podían desvelar el autentico comportamiento del espacio-tiempo. Aun así, existe una geometría del espacio-tiempo de Galileo, es tan sencillo como entender que para medir la velocidad es necesario el espacio recorrido y el tiempo que se tarda en recorrerlo. Pues bien, colocamos dos ejes perpendiculares, uno horizontal que será el eje del espacio (eje x) y el otro vertical que será el eje del tiempo (eje t). El movimiento o trayectoria de un objeto es una línea en este sistema de coordenadas, al que podemos llamar diagrama espacio-tiempo.

¿Cómo se modifica este diagrama espacio-tiempo al aplicar la transformación de Galileo?. Primero hay que entender que significan los ejes x e y. El eje x representa todos los puntos que tienen un mismo valor de tiempo igual a cero. El eje t representa a todos los puntos que tienen un mismo valor de espacio x igual a cero. Pues bien, si nos fijamos en la transformación de Galileo el eje x’ será aquel que tenga el valor de t’ igual a cero. Sustituyendo obtenemos que x = x’. Para encontrar el eje t’ hacemos x’=0, obtenemos t =x/v, veámoslo

Esta ecuación es una recta de pendiente 1/v en el diagrama espacio-tiempo de Galileo

¿Cómo interpretar este diagrama espacio-tiempo? Recordemos que las coordenadas (x,t) son están referidas a un Sistema de Referencia Inercial (SRI) fijo (S) y las (x’,t’) están referidas a un SRI móvil (S’) con velocidad v respecto el S. Si desde el punto inicial (0,0) empezamos a contar el tiempo, el sistema S que no se mueve continua en el punto (0,0) pero en sistema S’ que se mueve, para este mismo tiempo T habrá avanzado una distancia vT.

Creo que es más fácil verlo a partir de las formulas, y es así como introduciré el concepto de tiempo y espacio en la relatividad. Pero a veces una intuición gráfica puede ayudar a entender estos diagramas que tanto proliferan en la teoría relativista. En el espacio-tiempo de Galileo un suceso que transcurre en el mismo tiempo en S y S’ sucede en espacios distintos para S y S’. No nos parece extraño, un pasajero dentro de un tren no observa movimiento dentro del propio tren, en cambio respecto un pasajero del andén de la estación si observa como el tren se mueve. Tampoco nos extraña que sucesos que ocurren en un mismo sitio sucedan en tiempos distintos, como ejemplo tenemos el rayo y el trueno. Los dos suceden en el mismo espacio pero son vistos y oídos en tiempos distintos. Primero vemos el rayo y luego oímos el sonido del trueno. Para observadores situados a distancias diferentes el tiempo entre el rayo y el trueno serán distintos.

Todos estos fenómenos que ocurren en el espacio-tiempo de Galileo no nos son extraños. Y esto es así porque nuestro espacio-tiempo esta ajustado a la versión aproximada de la transformación de Lorentz a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. Y en esta aproximación el ritmo al que avanza el tiempo es el mismo en todos los sistemas de referencia, es el que significa t=t’.

Dicho de otro modo, cuando la transformación de Lorentz (LT) se simplifica a la de Galileo el tiempo queda desacoplado de la transformación, es como si tuviese una entidad propia, independiente del espacio. En cambio, cuando consideramos la transformación de Lorentz completa sin simplificar, el tiempo no puede desacoplarse y depende del espacio. En este caso el espacio y el tiempo se encuentran mezclados y dependen del observador. Las medidas efectuadas por un observador en un SRI fijo (Jan) sobre el espacio-tiempo son diferentes de las realizadas por otro observador en un SRI móvil (Ivette).

Veamos cómo podemos construir el diagrama espacio-tiempo de Lorentz utilizando el mismo procedimiento que hemos utilizado para construir el diagrama espacio-tiempo de Galileo. Recordemos la TL considerando solamente la coordenada x y por supuesto el tiempo t.

Vamos a simplificar un poco más, puesto que la velocidad de la luz c aparece siempre, normalizamos su valor a 1. Es decir, a partir de ahora c=1 y las demás velocidades están relacionadas con c. Diremos por ejemplo que un objeto se mueve a la velocidad de 0,3 veces la velocidad de la luz. Esto significa también que no pueden existir velocidades mayores que 1. La TL nos queda más simétrica.

El eje x’ son los puntos que ocurren en el tiempo t’=0, entonces a partir de la segunda ecuación obtenemos.

Así pues, el eje x’ es la recta t=vx. El eje t’ son los puntos para los que se anula x’. Sustituyendo en la TL obtenemos

Aparece el mismo resultado que con Galileo, pero ahora la velocidad no puede sobrepasar la velocidad de la luz. Si dibujamos los dos sistemas de coordenadas S y S’ obtendremos el siguiente diagrama de espacio-tiempo que se denomina diagrama de Minkowski, introducido por H. Minkowski en 1908. Un punto en este espacio se denomina suceso, ocurre en un espacio y en un tiempo. Hay que decir que el diagrama completo consta de las tres dimensiones del espacio (x,y,z) y el tiempo t. Por tanto tiene cuatro coordenadas (x,y,z,t). Resumiendo, un suceso es un punto de cuatro coordenadas en el diagrama de Minkowski, una trayectoria es una sucesión de sucesos y se denomina línea del universo.

La trayectoria seguida por la luz se representa por una recta de pendiente 45º, pues para un rayo de luz t=x. Recordemos que c =1, de manera que para un rayo de luz su velocidad es v = c = 1 y substituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos t=x que es la ecuación de la bisectriz.
Puesto que la velocidad máxima de cualquier objeto es la de la luz, ninguna línea de universo puede tener una pendiente mayor de 45º. Esto significaría que se movería a una velocidad mayor que la de la luz.

Si representamos el espacio-tiempo de Minkowski a partir de esta conclusión final de que ninguna línea de universo puede tener una pendiente mayor de 45º, aparece una clasificación de la geometría del espacio-tiempo separada mediante tres zonas.

Las zonas 2 y 3 están conectadas, la 2 es el pasado de la 3. Un objeto o suceso de la zona 2 puede llegar a la zona 3 moviéndose a una velocidad menor que la de la luz. La luz de una explosión de una supernova que vemos en el firmamento procede del pasado de esta estrella (zona 2) y nos llega a nosotros en el punto 0, donde se cruzan los ejes x-t. Si sobrevivimos a esta radiación nuestra línea de universo se adentrara en la zona 3, nuestro futuro. Es nuestro universo futuro, al cual podemos afectar según lo que suceda en el presente.
La zona 1 es un poco especial, fíjense que cualquier suceso ocurrido en esta zona no puede afectarnos en nuestro presente, esto implicaría una velocidad mayor que la de la luz ya que la pendiente de cualquier suceso en esta zona tendría que ser mayor de 45º para afectarnos en el punto 0 (nuestro presente). Eso sí, nos puede afectar en nuestro futuro (zona 3). Un poco liado, a ver con un ejemplo, si ahora, en este momento que está leyendo esta palabra explota el Sol, no le pasara nada hasta dentro de ocho minutos. Es el tiempo que tarda la luz en viajar del Sol a la Tierra. Antes no le puede afectar nada de lo sucedido en el Sol.

Las estrellas que vemos brillar en el cielo, las vemos tal como eran cuando su luz salió de ellas. Observamos el pasado del cielo en nuestro presente. El concepto de tiempo universal tipo “ahora” no existe en la relatividad.

Como hemos visto el espacio-tiempo tiene 4 dimensiones (tetradimensional), en una imagen en 3D observariamos el diagrama de Minkowski formado por un plano con los ejes x,y el eje z no lo puedo representar en 3D ya que el eje perpendicualr al plano es el tiempo. Las trayectorias de un rayo de luz forman un cono, el inferior es la zona 2 (pasado) y el superior la zona 3 (futuro)

La Transformación de Lorentz

Voy a dedicar los siguientes post a la teoría de la relatividad, es una continuación del post “Relatividad de Galileo” donde comentaba como se verían los sucesos físicos en dos sistemas de referencia, uno fijo (que llamaremos S) y el otro móvil (que llamaremos S’) y al del “Experimento de Michelson-Morley”.

El fracaso del experimento de Michelson-Morley demostró que la velocidad de la luz no se comportaba como era de esperar según las leyes de la mecánica de Newton. La teoría que englobaba todos los experimentos sobre la luz era la teoría electromagnética de Maxwell. Sin embargo las ecuaciones de Maxwell no obedecían al principio de relatividad de Galileo. Era de esperar pues que los fenómenos electromagnéticos y por tanto sobre la luz tuviesen comportamientos diferentes en distintos sistemas de referencia. Si por ejemplo efectuamos experimentos ópticos en una nave espacial en movimiento, los resultados tendrían que ser diferentes a la misma nave en reposo. Entonces se podrían utilizar estos resultados para determinar la velocidad de la nave. Puesto que la Tierra no es más que una gran nave espacial, el experimento de Michelson-Morley se proponía determinar la velocidad de la Tierra respecto el éter.
Había que buscar un culpable a este fracaso, y el primero fue Maxwell. Es decir, las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético, en ese tiempo estas ecuaciones solo tenían 20 años de existencia. Parecía evidente que estaban equivocadas y tenían que transformarse para que cumplieran el principio de relatividad de Galileo. Pero al modificar las ecuaciones del campo electromagnético para que cumplieran el principio de relatividad de Galileo, salían términos que no se ajustaban a los experimentos. ¿Qué fallaba entonces?
H.A. Lorentz introdujo una nueva idea, los objetos materiales se contraen en la dirección del movimiento según una transformación que obtuvo y que justamente mantenían la forma de las ecuaciones de Maxwell. Esta contracción solo se nota a velocidades muy elevadas y es conocida como la transformación de Lorentz. Curiosamente la transformación de Lorentz se convierte en la transformación de Galileo para velocidades bajas comparadas con la velocidad de la luz.
Resulta que el culpable del fracaso del experimento de Michelson-Morley es la transformación de Galileo y detrás vienen las leyes de Newton. ¿Como modificar estas leyes para ajustarlas a la nueva transformación?, muy sencillo, solamente hay que tener en cuenta que la masa en las ecuaciones de Newton depende de la velocidad y esta se hace infinita a la velocidad de la luz. Es uno de los temas a tratar en los sucesivos posts sobre relatividad, un poco de paciencia.
Con estos cambios, las leyes de Newton y del electromagnetismo permanecen invariables bajo la transformación de Lorentz, que es la que ahora prevalece, y toda la física vuelve a la normalidad. Solo que lo que entendemos por normalidad no sigue al sentido común. Para entender la transformación de Lorentz tenemos que modificar el concepto de espacio y tiempo. Y no es posible de ninguna manera determinar una velocidad absoluta, aunque la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia.
No tengo más remedio que acudir a las matemáticas para explicar en qué consiste la transformación de Lorentz y de por si la teoría de la relatividad de Einstein. Solamente utilizo algunos conceptos algebraicos y algo de geometría elemental. Se acostumbra a denominar con la letra c a la velocidad de la luz, unos 300.000 km/s.
Einstein desde los 16 años se preguntaba cómo se vería un rayo de luz si pudiésemos correr a su lado. Lo veríamos parado, puesto que la velocidad relativa entre el rayo y nosotros seria cero. Esta situación le indujo a pensar como se veria un rayo de luz en dos sistemas de referencia, uno fijo (S) de color azul y otro móvil (S’) de color rojo. Supongamos que un niño, al que llamaremos Jan, esta situado en el sistema S y dispone de una fuente de luz que emite en todas direcciones por igual. Una niña, a la que llamaremos Ivette se encuentra situada en el sistema S’ y dispone de una fuente de luz igual. Al encender la luz, tanto Jan como Ivette tiene que observar que la luz se aleja a la velocidad c de ellos y en todas direcciones por igual. Es decir, observan como una esfera de luz avanza hacia el espacio exterior a la misma velocidad c para los dos.

A partir de aquí empieza el baile matemático, empiezo con unas pequeñas directrices. La ecuación de un círculo de radio r es de la forma

Y la ecuación de una esfera de radio r es de la forma



En nuestro caso, las esferas van aumentando el radio a medida que avanza el tiempo, para Jan el radio de la esfera aumenta según ct y para Ivette según ct’.

Pues bien, impongamos la condición de que estas dos esferas tienen que ser esferas tanto para Jan como para Ivette. Matemáticamente significa lo siguiente

Aplicamos la transformación de Galileo para comprobar si se cumple este principio de que las esferas tienen que ser iguales

Pues no, según Galileo Jan observa una esfera, pero Ivette no.
La transformación de Galileo no conserva la simetría de la esfera. Un rayo de luz lanzado desde el Sistema S se verá distinto en el Sistema S’.Para solventar este inconveniente Einstein considera que el tiempo es una variable que también depende del espacio. Para simplificarlo considero solamente movimiento en la dirección del eje x. Entonces la condición matemática para la transformación es la siguiente, con gamma, A i B parámetros a determinar

Aplicamos otra vez la condición anterior de que las esferas de luz tienen que ser esferas tanto para Jan como para Ivette, obtenemos

Igualamos los coeficientes


El sistema se soluciona con algunos pasos algebraicos, se aísla gamma de la última y se sustituye en la primera, con este paso se obtiene B en función de A y se sustituye en la segunda. Obtenemos A , B i gamma.

De manera que la transformación de Einstein, que es la transformación de Lorentz queda como

Podría dejarlo aquí, pero vamos a complicarlo un poco. Introducimos una nueva coordenada espacial a partir de ct, el producto de una velocidad por el tiempo es el espacio y utilizamos la siguiente notación:

Con lo que la transformación de Lorentz queda de la forma más simétrica.

Con esto es suficiente para entender las explicaciones que intentare dar sobre la relatividad en los sucesivos posts. Para continuar necesita de unos conocimientos un poco superiores sobre matemáticas para entender el concepto matemático del espacio-tiempo. Lo que se llama el espacio de Minkowski. Aunque repito, no es necesario para entender la continuación, eso sí, es necesario para entender esta jerga matemática que envuelve a la relatividad.
Pues bien a continuación el nivel matemático vuelve a dar una vuelta de tuerca y tenemos que pasar a la notación matricial. El sistema anterior lo podemos colocar de la siguiente manera, gracias al producto matricial.

Simplifiquemos un poco para no perdernos, nos fijamos solamente en las coordenadas ct, x, ct’, x’. De esta manera reducimos el sistema a

Tiene el aspecto de una matriz de rotación. El siguiente link comenta la matriz de rotación.

Pero no con los senos y cosenos normales sino con el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico. La diferencia que nos interesa ahora es la siguiente:

Es una pequeña diferencia pero muy útil en relatividad. Veamos porque. Recordemos que la esencia es que la esfera de un pulso de luz tiene que ser una esfera en todos los sistemas de referencia inerciales, para Jan y para Ivette. Pues bien, la trigonometría de los senos y cosenos hiperbólicos nos permite esta identidad.

Si colocamos la transformación de un sistema S a otro S’ de la siguiente manera

Donde

Si elevamos al cuadrado cada ecuación y restamos, los términos cruzados desaparecen al restarse y obtendremos

Volvemos a encontrar que la esfera (imaginen las componentes y,z que faltan) vista en S’ (Ivette) es la misma que en S (Jan) pero ahora hemos substituido el lenguaje matemático del cálculo por el lenguaje matemático de la geometría.
Este paso lo efectuó Minkowski, que fue profesor de Einstein en el Politécnico de Zuich y el cual se extraño mucho ya que Einstein siempre se saltaba sus clases. Einstein considero esta idea como otra manera de interpretar la relatividad, pero sin interés. Años más tarde, en 1912, Einstein desarrollo la Teoría de la Relatividad General partiendo de la geometría del espacio-tiempo. Desgraciadamente Minkowski había muerto de apendicitis en 1909.
Veamos el significado de la geometría del espacio-tiempo de Minkowski. Si comparamos la trigonometría de los senos y cosenos con la trigonometría de los senos y cosenos hiperbólicos obtenemos la siguiente diferencia. Recordemos que la ecuación para un círculo de radio r es:

Es el caso de la trigonometría euclidea donde aparece un círculo de radio 1 a partir de la condición

Pero la geometría del espacio-tiempo de Minkowski se basa en la siguiente condición

y su forma gráfica es una hiperbola

En general tenemos que el espacio de Minkowski no es un espacio euclideo sino un espacio hiperbólico. Si juntamos todas las líneas hiperbólicas obtendremos una superficie hiperbólica

Parecido a si juntamos todas las líneas de circunferencia para formar una esfera.
En el caso de la relatividad la ecuación que teníamos sobre la esfera de luz es

Y su representación gráfica es un cono

Entender esta representación del doble cono es imprescindible para comprender la geometría del espacio-tiempo. Lo explico en el siguiente post, con más calma.

Como pueden observar no me aclaro con el tamaño de las fórmulas, algunas quedan pequeñas, otras muy grandes. Supongo que tendria que ajustar la resolución de cada una al pasarla a imagen. Utilizo el MathType y convierto la formula en una imagen gif y todas tienen el mismo tamaño, es al pasarla al blog que se modifica. Si alguien conoce el truco se lo agradeceria.