La Geometría del espacio-tiempo

Intentar describir las propiedades del espacio mediante la geometría, no es nada nuevo. La geometría de Euclides supone un espacio plano, o dicho de otra manera, si consideramos que nuestro espacio es plano, podemos aplicar los principios de la geometría de Euclides. Pero ¿es plano nuestro espacio?, la respuesta es depende. Si consideramos nuestro espacio una porción muy pequeña de la superficie de la Tierra, podremos decir que nuestro espacio es casi plano y la geometría de Euclides funciona perfectamente. Para medir las distancias en un campo de futbol es suficiente la geometría de Euclides. Pero si queremos medir la distancia de Barcelona a Arequipa notaremos que la Tierra es redonda y ya no funciona la geometría euclidea. Pues bien, hasta finales del siglo XIX se creía que nuestro universo era euclideo, o al menos la geometría euclidea funcionaba correctamente.
Lo mismo pasa con el tiempo, no se notaba nada raro en el comportamiento del tiempo. Cuando se empezaron a conocer los fenómenos electromagnéticos y los aparatos científicos se hicieron más precisos se produjeron las condiciones idóneas para experimentar con la luz. Anteriormente estos experimentos o juegos con la luz eran mecánicos y los mecanismos tienen velocidades muy pero que muy bajas comparadas con la de la luz. Y hay una curiosidad sobre la transformación de Lorentz y es que se convierte en la de Galileo cuando las velocidades son mucho menores que la de la luz.

Estos experimentos mecánicos no podían desvelar el autentico comportamiento del espacio-tiempo. Aun así, existe una geometría del espacio-tiempo de Galileo, es tan sencillo como entender que para medir la velocidad es necesario el espacio recorrido y el tiempo que se tarda en recorrerlo. Pues bien, colocamos dos ejes perpendiculares, uno horizontal que será el eje del espacio (eje x) y el otro vertical que será el eje del tiempo (eje t). El movimiento o trayectoria de un objeto es una línea en este sistema de coordenadas, al que podemos llamar diagrama espacio-tiempo.

¿Cómo se modifica este diagrama espacio-tiempo al aplicar la transformación de Galileo?. Primero hay que entender que significan los ejes x e y. El eje x representa todos los puntos que tienen un mismo valor de tiempo igual a cero. El eje t representa a todos los puntos que tienen un mismo valor de espacio x igual a cero. Pues bien, si nos fijamos en la transformación de Galileo el eje x’ será aquel que tenga el valor de t’ igual a cero. Sustituyendo obtenemos que x = x’. Para encontrar el eje t’ hacemos x’=0, obtenemos t =x/v, veámoslo

Esta ecuación es una recta de pendiente 1/v en el diagrama espacio-tiempo de Galileo

¿Cómo interpretar este diagrama espacio-tiempo? Recordemos que las coordenadas (x,t) son están referidas a un Sistema de Referencia Inercial (SRI) fijo (S) y las (x’,t’) están referidas a un SRI móvil (S’) con velocidad v respecto el S. Si desde el punto inicial (0,0) empezamos a contar el tiempo, el sistema S que no se mueve continua en el punto (0,0) pero en sistema S’ que se mueve, para este mismo tiempo T habrá avanzado una distancia vT.

Creo que es más fácil verlo a partir de las formulas, y es así como introduciré el concepto de tiempo y espacio en la relatividad. Pero a veces una intuición gráfica puede ayudar a entender estos diagramas que tanto proliferan en la teoría relativista. En el espacio-tiempo de Galileo un suceso que transcurre en el mismo tiempo en S y S’ sucede en espacios distintos para S y S’. No nos parece extraño, un pasajero dentro de un tren no observa movimiento dentro del propio tren, en cambio respecto un pasajero del andén de la estación si observa como el tren se mueve. Tampoco nos extraña que sucesos que ocurren en un mismo sitio sucedan en tiempos distintos, como ejemplo tenemos el rayo y el trueno. Los dos suceden en el mismo espacio pero son vistos y oídos en tiempos distintos. Primero vemos el rayo y luego oímos el sonido del trueno. Para observadores situados a distancias diferentes el tiempo entre el rayo y el trueno serán distintos.

Todos estos fenómenos que ocurren en el espacio-tiempo de Galileo no nos son extraños. Y esto es así porque nuestro espacio-tiempo esta ajustado a la versión aproximada de la transformación de Lorentz a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. Y en esta aproximación el ritmo al que avanza el tiempo es el mismo en todos los sistemas de referencia, es el que significa t=t’.

Dicho de otro modo, cuando la transformación de Lorentz (LT) se simplifica a la de Galileo el tiempo queda desacoplado de la transformación, es como si tuviese una entidad propia, independiente del espacio. En cambio, cuando consideramos la transformación de Lorentz completa sin simplificar, el tiempo no puede desacoplarse y depende del espacio. En este caso el espacio y el tiempo se encuentran mezclados y dependen del observador. Las medidas efectuadas por un observador en un SRI fijo (Jan) sobre el espacio-tiempo son diferentes de las realizadas por otro observador en un SRI móvil (Ivette).

Veamos cómo podemos construir el diagrama espacio-tiempo de Lorentz utilizando el mismo procedimiento que hemos utilizado para construir el diagrama espacio-tiempo de Galileo. Recordemos la TL considerando solamente la coordenada x y por supuesto el tiempo t.

Vamos a simplificar un poco más, puesto que la velocidad de la luz c aparece siempre, normalizamos su valor a 1. Es decir, a partir de ahora c=1 y las demás velocidades están relacionadas con c. Diremos por ejemplo que un objeto se mueve a la velocidad de 0,3 veces la velocidad de la luz. Esto significa también que no pueden existir velocidades mayores que 1. La TL nos queda más simétrica.

El eje x’ son los puntos que ocurren en el tiempo t’=0, entonces a partir de la segunda ecuación obtenemos.

Así pues, el eje x’ es la recta t=vx. El eje t’ son los puntos para los que se anula x’. Sustituyendo en la TL obtenemos

Aparece el mismo resultado que con Galileo, pero ahora la velocidad no puede sobrepasar la velocidad de la luz. Si dibujamos los dos sistemas de coordenadas S y S’ obtendremos el siguiente diagrama de espacio-tiempo que se denomina diagrama de Minkowski, introducido por H. Minkowski en 1908. Un punto en este espacio se denomina suceso, ocurre en un espacio y en un tiempo. Hay que decir que el diagrama completo consta de las tres dimensiones del espacio (x,y,z) y el tiempo t. Por tanto tiene cuatro coordenadas (x,y,z,t). Resumiendo, un suceso es un punto de cuatro coordenadas en el diagrama de Minkowski, una trayectoria es una sucesión de sucesos y se denomina línea del universo.

La trayectoria seguida por la luz se representa por una recta de pendiente 45º, pues para un rayo de luz t=x. Recordemos que c =1, de manera que para un rayo de luz su velocidad es v = c = 1 y substituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos t=x que es la ecuación de la bisectriz.
Puesto que la velocidad máxima de cualquier objeto es la de la luz, ninguna línea de universo puede tener una pendiente mayor de 45º. Esto significaría que se movería a una velocidad mayor que la de la luz.

Si representamos el espacio-tiempo de Minkowski a partir de esta conclusión final de que ninguna línea de universo puede tener una pendiente mayor de 45º, aparece una clasificación de la geometría del espacio-tiempo separada mediante tres zonas.

Las zonas 2 y 3 están conectadas, la 2 es el pasado de la 3. Un objeto o suceso de la zona 2 puede llegar a la zona 3 moviéndose a una velocidad menor que la de la luz. La luz de una explosión de una supernova que vemos en el firmamento procede del pasado de esta estrella (zona 2) y nos llega a nosotros en el punto 0, donde se cruzan los ejes x-t. Si sobrevivimos a esta radiación nuestra línea de universo se adentrara en la zona 3, nuestro futuro. Es nuestro universo futuro, al cual podemos afectar según lo que suceda en el presente.
La zona 1 es un poco especial, fíjense que cualquier suceso ocurrido en esta zona no puede afectarnos en nuestro presente, esto implicaría una velocidad mayor que la de la luz ya que la pendiente de cualquier suceso en esta zona tendría que ser mayor de 45º para afectarnos en el punto 0 (nuestro presente). Eso sí, nos puede afectar en nuestro futuro (zona 3). Un poco liado, a ver con un ejemplo, si ahora, en este momento que está leyendo esta palabra explota el Sol, no le pasara nada hasta dentro de ocho minutos. Es el tiempo que tarda la luz en viajar del Sol a la Tierra. Antes no le puede afectar nada de lo sucedido en el Sol.

Las estrellas que vemos brillar en el cielo, las vemos tal como eran cuando su luz salió de ellas. Observamos el pasado del cielo en nuestro presente. El concepto de tiempo universal tipo “ahora” no existe en la relatividad.

Como hemos visto el espacio-tiempo tiene 4 dimensiones (tetradimensional), en una imagen en 3D observariamos el diagrama de Minkowski formado por un plano con los ejes x,y el eje z no lo puedo representar en 3D ya que el eje perpendicualr al plano es el tiempo. Las trayectorias de un rayo de luz forman un cono, el inferior es la zona 2 (pasado) y el superior la zona 3 (futuro)