Masa Gravitatoria y Masa Inercial

En los dos anteriores post comentaba el impacto de cuerpos masivos (cometas, asteroides) contra la Tierra como consecuencia de la fuerza gravitatoria. La fuerza de la gravedad de la Tierra los acelera, aquellos con más masa interaccionaran con más fuerza gravitatoria, pero también cuestan más de acelerar. ¿Qué relación hay entre la masa que actúa con la gravedad y la masa que se resiste a ser acelerada?. El 10 de septiembre de 2008 se ha puesto en marcha el LHC con éxito. Pero aún tenemos que esperar a los experimentos, en alguno de ellos se espera encontrar el bosón de Higgs. ¿Y qué es el bosón de Higgs?. La respuesta completa intentaré explicarla cuando empiecen los experimentos de verdad. Pero por decirlo rápidamente, es la manera como las partículas adquieren masa y por supuesto cualquier cuerpo.

La masa es uno de los conceptos fundamentales en el conocimiento científico, al igual que el concepto de carga eléctrica, espacio y tiempo. Pero aunque parezca paradójico tanto la masa, como el espacio, como el tiempo y la carga eléctrica son conceptos básicos que no se entienden. ¿Cómo es posible esto?. En este post trataré solamente de la masa. ¿No es la masa la cantidad de materia que hay en un cuerpo?, pues va a resultar que no es tan sencillo. En la teoría de Newton la masa aparece de dos formas diferentes, una como masa gravitatoria y otra como masa inercial. La masa gravitatoria (Mg) es la propiedad que tiene un cuerpo de atraer a otro mediante la fuerza gravitatoria. La masa inercial (Mi) mide la resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su estado de movimiento cuando se aplica una fuerza. Es decir, se resiste a acelerarse, a mayor masa menor aceleración. Y esta masa podría depender de la composición química del cuerpo, de su temperatura o otra variable desconocida. Pues bien, aunque en principio parecen propiedades distintas, experimentalmente la masa gravitatoria y inercial de un cuerpo son iguales. Este resultado se conoce como principio de equivalencia débil.

La fuerza gravitatoria entre dos cuerpos, supongamos por ejemplo que el primero tiene una masa gravitatoria M1 y el segundo una masa gravitatoria Mg, es directamente proporcional al producto de su masa gravitatoria e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Aplicando el segundo principio de Newton esta fuerza gravitatoria produce una aceleración en ambos cuerpos, nos fijamos ahora solamente en el segundo de masa gravitatoria Mg, pero resulta que esta aceleración depende de la masa inercial Mi de este cuerpo. La segunda ley de Newton trata solamente de la inercia del cuerpo. Obtenemos la siguiente ecuación para la aceleración

Según esta ecuación la aceleración del segundo cuerpo depende de la relación entre su masa gravitatoria y inercial, es el cociente Mg/Mi. En este caso la caída de un cuerpo dependería de su composición química, es decir, una bola de plomo de 1kg se aceleraría de forma diferente a 1kg de paja. Pero los experimentos realizados nos dicen que la relación entre la masa gravitatoria y inercial es la misma para todos los cuerpos. De esta manera todos los objetos cerca de la superficie de la Tierra caen con la misma aceleración, independientemente de su masa, despreciando la resistencia del aire por supuesto. Ver "Midiendo la gravedad lunar".
En este caso escogiendo Mg/Mi = 1, y con MT la masa de la Tierra y R el radio de la Tierra obtenemos la ecuación para la aceleración de cualquier objeto sobre la Tierra. Fijarse que solo depende de la masa de la Tierra MT y del radio de la Tierra R, no del objeto.

Imagínenese el caso de la estación espacial internacional y un astronauta dentro, la estación está construida de un material distinto al del astronauta. Y el astronauta flota dentro de la estación, es decir, cae a la Tierra con la misma aceleración que la estación espacial. Si no fuese así el astronauta chocaría contra el suelo de la estación (o la pared) y le parecería que existe una gravedad artificial dentro de la estación espacial.
Los primeros experimentos fiables para determinar la diferencia entre masa gravitatoria y masa inercial fueron realizados en 1586 por Simon Stevin y Galileo más tarde participo en su difusión y comprobación. De esta manera se demostraba que la creencia introducida por Aristóteles hacia más de 2000 años de que los objetos más pesados caían más rápidamente que los más livianos era falsa. Con esto quiero que vean que no siempre los conceptos más aceptados son verdaderos. Todo es verdad hasta que se demuestra lo contrario, y en ciencia también. Por eso se gasta tanto dinero en hacer experimentos carísimos, para comprobar los conceptos más elementales.
Más tarde Newton utilizó la medida del período de un péndulo construido con diferentes materiales y no halló diferencia. El período de un péndulo es el tiempo que tarda en ir y volver y depende de la longitud del péndulo, de la aceleración de la gravedad y del cociente entre la masa inercial y la masa gravitatoria. La ecuación del periodo es la siguiente

Entre 1887 y 1919 se realizaron dos grandes experimentos decisivos para la fundación de la teoría de la relatividad. El experimento de Michelson-Morley para determinar la velocidad de la Tierra respecto el éter (ver "El Experimento de Michelson-Morley") y el experimento del Barón Roland Von Eötvos para determinar el principio de equivalencia débil. Midió la aceleración de objetos de diferente composición (platino, cobre, madera) y en distintos lugares de la Tierra. Todos los resultados indicaban que la masa inercial y la gravitatoria no variaba de un material a otro en más de 5 partes en 10^9. Que es lo mismo que decir que la masa gravitatoria y la inercial son iguales.

Este resultado es muy importante ya que marca el comienzo de la teoría general de la relatividad. Einstein utiliza la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria para decir, más o menos, que las medidas realizadas dentro de un sistema de referencia no pueden distinguir si este sistema se encuentra sometido a un campo gravitatorio (que le proporciona una aceleración) o a una aceleración uniforme generada por cualquier otra fuerza. Este enunciado se conoce como principio de equivalencia fuerte y es la base para describir la gravedad como una curvatura en el espacio-tiempo. Por ahora no nos compliquemos más en este apartado.
Dada la importancia de este experimento se ha repetido varias veces. Robert H. Dicke en Princeton en el año 1964 utilizó oro y aluminio y ajusto el valor de la equivalencia a 1 parte en 10^11. En 1971 Braginsky y Panov en Moscú repitieron el experimento con platino y aluminio llegando a una equivalencia de 1 parte en 10^12.

Utilizando el reflector lunar instalado en la Luna desde 1969 (ver "Desde la Luna las estrellas no se ven") se pueden observar los efectos orbitales de una posible diferencia en la aceleración entre la Tierra y la Luna en torno del Sol como consecuencia de la diferente composición química entre la Tierra y la Luna. La Tierra es más rica en hierro que la Luna . Es lo que se conoce como efecto Nordtvedt, (debido a Kenneth L. Nordtvedt) indica que la energía gravitatoria propia de un objeto contribuye a la masa gravitatoria pero no a la masa inercial. Los resultados indican que no existe ninguna diferencia entre la aceleración de la Tierra y la Luna hacia el Sol.
En 1986 Fischbach reinterpreto los resultados de Eötvos indicando que el error en la precisión de las medidas era suficiente para suponer la existencia de una quinta fuerza opuesta a la gravedad a la que llamó hipercarga y que solo actuaba a una distancia inferior a los 200 metros. Se hicieron numerosas revisiones de estos experimentos, algunos en lo alto de torres y otros en las profundidades de minas. Después de revisar estos experimentos se llegó a la conclusión que esta quinta fuerza no existe.
Podemos concluir pues que dentro de los límites experimentales no hay distinción entre la masa gravitatoria y la masa inercial. Como consecuencia no se puede distinguir una aceleración de un campo gravitatorio. La aceleración no es absoluta al igual que la velocidad. La aceleración de un sistema de referencia es equivalente a un campo gravitatorio causado por una distribución de masa adecuada (ignorando los efectos de marea). Este resultado tiene una gran implicación entre la Relatividad Especial y la Relatividad General. Tema que dejo para otro post, este ya me ha salido demasiado liado.